一桁の割り算でも、桁数多いと暗算って難しいよ?

タイトルは、吸血鬼モドキのちっこい紳士が語り部の某物語の一節に対する僕の感想です。
高校の折、数学の授業では尽く熟睡し、毎度のように追試を受けていた身ではありますが、流石に6桁の数を1桁で割るだけと言っても暗算するのは難しいというのは、一般論で良いのではないかと思います。

で。

今回は、このHatena Diaryがを扱えるそうなので、その練習がてら、ちっこい吸血鬼モドキとでっかい妹の会話中に出てきた、『3つの整数の並びを2つ並べて作った6桁の整数は必ず7で割りきれる』という雑学ネタの証明でもしてみようかと思います。

ちなみに、このHatena Diaryでを使うのはそれほど大変ではないです。記法は、

[tex:2^3]

みたいにすればいいだけですから。ちなみに、上がどういう結果かというと、

です。まあ、一応ご紹介しておきます。
それじゃあ、戻ります。

とは言え、先述の通り、僕は数学が苦手ですし、嫌いでもあります。そもそも、勉強というのが嫌いです。勉強が嫌いと断言するのも語弊があるのですが、まあ、好きなことやってる間は自分が勉強してるなんて思わないですよね。そんな感じです。
つまり、自覚する勉強は嫌いなんです。
努力している人が、努力しているという自覚がないのと同じことです。

話逸らし続けますけど、本当に努力してる人っていうのは、案外それに無自覚なものです。なぜなら、彼らは目的のために行動しているだけですから。
そこへいくと、僕なんかはてんでダメなんですよ。
彼らが目的のために努力するというのなら、僕は目的が努力なんです。
「頑張ってるんだから」を言い訳にしたい人種です。
まあ、僕の卑小な人間性に関しては、もうこのブログの随所に根拠がありますし、何ならこのブログそのものが僕の人間の低度を証明する証明文みたいなものなので、何を今更という気がします。

それはそれとして。
本題に戻りましょう。まず、『3つの整数の並びを2つ並べて作った6桁の整数』っていうのは、

• 111111
• 342342
• 579579

みたいに、前3つと後3つが同じというものです。これを例えば、それぞれの桁を1つずつ記号で表すとする、つまり、

のとき

みたいに表現するとしたとき、対象とする6桁の整数は

と書けます。ただし、a、b、cはいずれも重複を許します。3つの整数の選び方に制限はありません。だから、

でも良いという訳です。
では、以上の話を前提として、証明をしていこうと思います。

※この日記の記載が正確である保証はありません。編集者の学の無さをご理解の上で、ご嘲笑ください。
※既に他サイトでも証明されていることでしょう。証明を知りたいだけという方はどうかそちらをご参照ください。これは、ただの遊びです。

『3つの整数の並びを2つ並べて作った6桁の整数は必ず7で割りきれる』の証明：

さて、じゃあまずは前提として、3桁の整数をa、b、cで表します。つまり、これを2つ並べて作られる6桁の整数は、

と表されるということです。ここまでは、前提の確認です。これを7で割るということなので、最初のabcは次のように表現できます。
　　　
ここで、kは商、rは余りを意味します。
次のabcは、先のabc*1000の余りを足した値になりますから、
　　　
になります。ここで、この(2)に(1)を代入すると、

整理すると、

となります。これを、再び(2)に代入しますと、

すなわち、

となります。てゆうか、ここまでの計算の意味はありません。なぜ、こんな面倒なことになったというと、僕が計算ミスってたりしていて、後で気づいたからです。
僕の頭の悪さは、暗算がどうこうなんてレベルではありませんでした。ここに、謹んでお詫び申し上げます。

気をとりなおして……
ここで、6桁の表現に戻して、代入してみますと、

　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
と、7の倍数表記に落ち着きます。これは、

がどのような値であっても7の倍数であることを意味します。
従って、『3つの整数の並びを2つ並べて作った6桁の整数は必ず7で割りきれる』んです。

さすがは委員長の中の委員長、確かに7で割りきれますね。何にも知らないだけのことはあります。

結論：

はてなのはあまり積極的には使いそうにないかな。

2010/12/7　追記：

この追記を記入する以前にここを見てた人には申し訳ありませんが、例の意味の無いと言った計算部分が間違ってたんで、修正しました。
加えて、以下に試算を載せときます。

111111の検証
まず、111111ということなので、

です。ここで、111を7で割り、

を得ます。つまり、

です。さらに、次のabcを計算しますが、先のabcの余りを考慮して、

というわけで、余りが0ですから、ここまでの前提部分の計算は合っていました。
さて、次は結果の確認です。abc*1000+abc=111111は最終的に、

と表せました。なので、ここに上で得られた値をそれぞれ代入します。

期待通り、元の6桁が得られました！